contraction 与因果格林函数对应

因果格林函数的定义式

第三章中因果格林函数的定义为

$$\begin{align*} G_{AB}^c (t-t') \equiv - \mathrm{i} \langle T_{\varepsilon} (A(t)B(t'))\rangle \end{align*}$$

如果系统取为零温无相互作用费米气体, 算符 $A(t),B(t')$ 取为 $a_k(t),a_l^{\dagger}(t')$ ,上式就变为

$$\begin{align} \label{eq:contraction} G_{kl}^{0,c}(t-t') = -\mathrm{i} \langle T_{\varepsilon}(a_k(t)a_l(t')) \rangle = - \mathrm{i} \langle \eta_0 \mid T_{\varepsilon}\left\{ a_k(t)a_l^{\dagger}(t') \right\} \mid \eta_0 \rangle \end{align}$$

其中目标 $0$ 代表无相互作用.

contraction 的定义

根据 contraction 的定义, 可得 ( 收缩符号不好在这打, 用大括号代替了 )

\begin{equation} \begin{split} \underbrace{a_k(t)a_l^{\dagger}(t')} =& \langle \eta_0 \mid \underbrace{a_k(t)a_l^{\dagger}(t')} \mid \eta_0 \rangle \\ =& \langle \eta_0 \mid T_{\varepsilon}\left\{ a_k(t)a_l^{\dagger}(t') \right\} - N \left\{\mid a_k(t)a_l^{\dagger}(t') \right\} \mid \eta_0 \rangle \\ =& \langle \eta_0 \mid T_{\varepsilon}\left\{ a_k(t)a_l^{\dagger}(t') \right\} \mid \eta_0 \rangle \\ =& \langle \eta_0 \mid T_{\varepsilon}\left\{ a_k(t)a_l^{\dagger}(t') \right\} \mid \eta_0 \rangle \delta_{kl} \end{split} \end{equation}

其中第一个等号是因为收缩是一个数, 第二个等号是 contraction 的定义, 第三个等号是因为正规 normal product 在基态下的期望是 $0$ .

根据 contraction 的定义, 对于费米子也可直接得到

$$\begin{align} \underbrace{a_k(t)a_l^{\dagger}(t')} = - \underbrace{a_l^{\dagger}(t')a_k(t)} \end{align}$$

结论

对比 (\ref{eq:contraction}) 和 $(2)$ 可得

$$\begin{align} \underbrace{a_k(t)a_l^{\dagger}(t')} = \mathrm{i} G_{kl}^{0,c}(t-t') \delta_{kl} = \mathrm{i} G_{k}^{0,c}(t-t') \delta_{kl} \end{align}$$

time-ordering 算符的 convention

当 time-ordering 算符作用的两个算符相等时,通常取消灭算符的时间要稍小于产生算符, 也就是

$$\begin{align} t_{\mathrm{annihilation operator}} - t_{\mathrm{creation operation}} = 0^- \end{align}$$

因果格林函数与粒子数平均值的关系

书中第三章中有结论

$$\begin{align} \mathrm{i}G_k^c(t-t'=0^-) = - \langle n_k \rangle \end{align}$$

Feynman graphs 的正负号问题

图的正负号与收缩中带 "$\prime$" 的 $t$ 在右边时的符号相同.

总结

综合上面的考虑, 我发现只要用以下五条规则就可以把 contraction-Grenn's Function-Feynman graphs 以及粒子数算符在基态上的期望相联系

$$\begin{align*} \boxed{ t_{\mathrm{annihilation operator}} - t_{\mathrm{creation operation}} = 0^- } \end{align*}$$
$$\begin{align*} \boxed{ \underbrace{a_k(t)a_l^{\dagger}(t')} = \mathrm{i} G_{k}^{0,c}(t-t') \delta_{kl} } \end{align*}$$
$$\begin{align*} \boxed{ \underbrace{a_k(t)a_l^{\dagger}(t')} = - \underbrace{a_l^{\dagger}(t')a_k(t)} } \end{align*}$$
$$\begin{align*} \boxed{ \mathrm{i}G_k^c(t-t'=0^-) = - \langle n_k \rangle } \end{align*}$$
$$\begin{align*} \boxed{ \mathrm{图的正负号与收缩中带 "\prime" 的 t 在右边时的符号相同.} } \end{align*}$$

注

$LaTeX$ 中收缩的打法可以参考 http://tug.ctan.org/macros/latex/contrib/simplewick/simplewick.pdf 使用 simplewick.sty